Extremwertaufgabe zu einer Funktionenschar
Einleitung
Die Untersuchung von Extremwerten ist ein zentrales Thema in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. In dieser Arbeit befassen wir uns mit einer Funktionenschar, um die Extremwerte dieser Funktionen zu bestimmen. Wir betrachten eine Familie von Funktionen, die durch einen Parameter \( a \) definiert ist. Diese Aufgabe ermöglicht es uns, verschiedene mathematische Konzepte zu kombinieren, um zu einem tieferen Verständnis der Verhaltensweisen der Funktionen zu gelangen.
Definition der Funktionenschar
Betrachten wir die Funktionenschar \( f_a(x) = ax^2 - bx + c \), wobei \( a, b, c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Diese Funktion beschreibt eine Parabel, deren Öffnungsrichtung von dem Parameter \( a \) abhängt. Für \( a > 0 \) öffnet die Parabel nach oben, während sie für \( a < 0 \) nach unten geöffnet ist. Ziel ist es, die Extremwerte dieser Funktion zu bestimmen, insbesondere das Maximum und Minimum, abhängig vom Wert des Parameters \( a \).
Bestimmung der Extremwerte
Um die Extremwerte der Funktionenschar zu finden, berechnen wir die erste Ableitung der Funktion:
$$ f_a'(x) = 2ax - b $$
Wir setzen die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:
$$ 2ax - b = 0 \Rightarrow x = \frac{b}{2a} $$
Jetzt setzen wir diesen Wert in die zweite Ableitung ein, um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:
$$ f_a''(x) = 2a $$
Wenn \( a > 0 \), ist \( f_a''(x) > 0 \), was bedeutet, dass wir ein Minimum haben. Wenn \( a < 0 \), ist \( f_a''(x) < 0 \), was auf ein Maximum hinweist. Daher können wir zusammenfassen, dass:
- Für \( a > 0 \) hat die Funktion ein Minimum bei \( x = \frac{b}{2a} \).
- Für \( a < 0 \) hat die Funktion ein Maximum bei \( x = \frac{b}{2a} \).
Berechnung der Extremwerte
Um die Extremwerte zu berechnen, setzen wir \( x = \frac{b}{2a} \) in die ursprüngliche Funktion \( f_a(x) \) ein:
$$ f_a\left(\frac{b}{2a}\right) = a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - b\left(\frac{b}{2a}\right) + c $$
Nach Vereinfachung erhalten wir:
$$ f_a\left(\frac{b}{2a}\right) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c = -\frac{b^2}{4a} + c $$
Somit ergibt sich für das Minimum (bei \( a > 0 \)) oder Maximum (bei \( a < 0 \)):
$$ \text{Extremwert} = -\frac{b^2}{4a} + c $$
Fazit
Zusammenfassend haben wir die Extremwerte einer Funktionenschar analysiert und festgestellt, dass die Position und Art der Extremwerte stark von dem Parameter \( a \) abhängen. Durch die Anwendung der Differentialrechnung konnten wir die kritischen Punkte bestimmen und die entsprechenden Extremwerte berechnen. Diese Analyse ist nicht nur für das Verständnis der Funktion selbst wichtig, sondern auch für Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.